¿Qué vaso se llena primero? Nivel fácil, medio y dificil
(Carlos Andrés Montenegro)
(Carlos Andrés Montenegro)
Retos Mike para Genios 3 ¿Qué vaso se llena primero?
(Curiosidades con Mike)
¿Cuál taza se llenará primero de Café?
(profe Rodolfo youtuber)
acertijos variados (Francisco Lorenzo)
acertijos variados 2 (Francisco Lorenzo)
Varios razonamiento lógico
(Curilla R.M. nombramiento docente)
Conteo de figuras (tu profe en línea)
acertijo ¿cuántos rectángulos hay?
(matematicascondiego)
PRINCIPIO DEL PALOMAR
Un teorema sencillo-el principio del palomar (Archimedes tube)
Principio del palomar (Prof. Moreno)
De repente suena un ruido que las asusta; se van volando todas al palomar que está enfrente y se esconden en los agujeros de dicho palomar, pero hay 20 agujeros. No hace falta ser un lince para concluir que “al menos dos de las palomas se han metido en el mismo agujero”. Este hecho, en apariencia sin ninguna importancia, suele recibir el nombre de Principio del palomar o Principio de Dirichlet.
En general, “Si m palomas ocupan n nidos y m es mayor que n, entonces hay al menos un nido con dos o más palomas”.
Dirichlet, uno de los matemáticos importantes del siglo XIX, lo utilizó extensamente trabajando en teoría de números y logró con él resultados curiosos, sorprendentes y profundos.
El Principio del Palomar es un teorema matemático que nos dice que si n palomas se distribuyen en m palomares, siendo n > m, entonces habrá al menos un palomar con más de una paloma. O enunciado de otro modo, si hay más objetos que cajas, al menos habrá una caja en la que haya que introducir más de un objeto. Esto, que a todos nos parece evidente, es al mismo tiempo inmensamente útil.
Lleva consigo no sólo su aplicación a cuestiones triviales, sino también a otras muchas bastante complejas.
Por ejemplo, en un grupo de 13 personas, al menos habrá dos que hayan nacido en el mismo mes, o bien, si consideramos que una persona tiene como máximo 200000 pelos en la cabeza, entonces en un municipio como el de Granada que tiene más de 200000 habitantes, habrá al menos dos personas con el mismo número de pelos.
Veamos varios casos en donde se utiliza el principio del palomar:
(Para ver la solución de cada problema debes "seleccionar" el texto "invisible" que hay después de la palabra Solución)
- Problemas ppio del palomar numéricos:
SUMA 11
Prueba que si cogemos 6 números del conjunto {1, 2, 3, …, 9, 10} seguro que hay dos que suman 11.
Solución: En esta ocasión, los números a escoger son las palomas y los palomares son los pares de números
entre 1 y 10 que suman 11, es decir los 5 pares 1-10, 2-9, 3-8, 4-7, 5-6. Como tenemos 5 pares y tenemos
que elegir 6 números, seguro que 2 números pertenecen al mismo par y por lo tanto suman 11.
DIFERENCIA 99
Prueba que, si elegimos 100 números naturales al azar, siempre habrá dos de ellos cuya diferencia sea múltiplo de 99.
Solución: El caso de 101 números y diferencia múltiplo de 100 es más fácil de ver ya que la diferencia de 2
números será un múltiplo de 100 si las dos últimas cifras de uno de los dos números coinciden con las
dos últimas del otro. Por ejemplo 1532 y 132 terminan en 32 y su diferencia es 1400 que es múltiplo
de 100. Tendríamos 101 números y 100 posibles terminaciones de 2 cifras así que, por el principio del
palomar, 2 números tendrían la misma terminación. Observad que 1532 y 132 terminan en 32 porque
son de la forma 100n + 32 con n un número natural.
Para el caso de 100 números, tengamos primero en cuenta que todo número natural m se puede escribir
de la forma m = 99n + r con n un número natural
y r un número natural menor que 99. ¿Lo tenéis claro? Si no, dividir m entre 99 como se hacía en el
colegio, es decir, calculando cociente y resto. Si os acordáis de qué significa dividir, el resto es lo que le
sobra a m cuando multiplicamos 99 por el cociente. Dicho de otra forma, m = 99.cociente + resto.
Pues bien, tenemos 100 números y 99 posibles restos (de 0 a 98) así que por el principio del palomar, de
los 100 números tendremos 2 con el mismo resto, es decir, habrá un número a de la forma a = 99p + r y
un número b de la forma b = 99q + r. Si restamos estos dos números tenemos que a – b =99 (p – q) que
es un múltiplo de 99, como queríamos.
Siguiendo el mismo razonamiento demostrar en general que si cogemos números naturales
y m < n, de entre los números escogidos siempre habrá dos cuya diferencia sea un múltiplo de m.
PRODUCTO CUADRADO PERFECTO
Dados 17 números de forma que ninguno tiene un factor primo mayor que 7, demostrar que hay al menos dos cuyo producto es un cuadrado perfecto.
Solución: Para su demostración descomponemos dos de esos números en producto de factores primos:
A = 2a.3b.5c.7d y B = 2e.3f.5g.7h, entonces A.B = 2a+e . 3b+f . 5c+g . 7d+h ; Hay 24 = 16 posibilidades de
números que al realizar el producto se obtenga algún exponente impar, por lo que al
ser 17 los números habrá al menos dos cuyo producto tenga todos los exponentes pares y, por lo tanto,
sea cuadrado perfecto.
SUMAS IGUALES
Elige seis números naturales menores que 15. Mostrar que todas las sumas posibles que puedes hacer con estos números no pueden ser distintas.
REUNIÓN DE PERSONAS
En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.
SUMAS IGUALES
Elige seis números naturales menores que 15. Mostrar que todas las sumas posibles que puedes hacer con estos números no pueden ser distintas.
REUNIÓN DE PERSONAS
En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.
- Problemas ppio del palomar geométricos:
Dados 5 puntos contenidos en un cuadrado de diagonal 2 cm, siempre habrá al menos 2 de ellos que estén a una distancia menor o igual que 1 cm. Solución
PUNTOS EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO-1
Dado un triángulo equilátero de 2 cm de lado y 5 puntos contenidos en él; habrá al menos dos cuya distancia sea menor o igual que 1 cm Solución
PUNTOS EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO-2
Si en un triángulo equilátero de lado 10 cm se colocan cinco puntos en su interior, prueba que siempre habrá dos puntos que están como máximo a 5 cm de distancia.
- Problemas ppio del palomar variados:
DADO
¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para obtener la misma puntuación por lo menos dos veces?
Problemas de trasvases:
3 y 5 LITROS
Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
9 y 4 LITROS
Mide 6 litros de agua con la ayuda de una jarra de 9 litros y otra de 4. Por cierto, las jarras no están graduadas por lo que no es posible llenar hasta la mitad la de cuatro y así tener dos litros.
CINCO NIÑAS
Cinco niñas cuyos nombres son J, B, A, M, L, descubrieron que pesándose de dos en dos e intercambiándose una cada vez, podían conocer el peso de todas ellas gastando una sola moneda (por ejemplo, primero se pesan juntas J y M, luego se baja J y se sube A, y así se pesan juntas M y A, a continuación se baja una de ellas y se sube otra, sin que nunca se repita la misma pareja). Una vez pesadas todas las parejas, sus pesos resultaron ser:
¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para obtener la misma puntuación por lo menos dos veces?
Solución: Los resultados distintos son 6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Por tanto, tendré que lanzar el dado por lo menos 7 veces.
SALUDOS
En una fiesta con 100 personas, algunos invitados se dan la mano y otros no, pero ¿puedo estar seguro de que al menos dos han saludado al mismo número de gente? ¿Por qué?
SALUDOS
En una fiesta con 100 personas, algunos invitados se dan la mano y otros no, pero ¿puedo estar seguro de que al menos dos han saludado al mismo número de gente? ¿Por qué?
Solución: Al ser un gesto recíproco, solo hay 99 saludos puesto que, si alguien ha dado 99 apretones de manos, no
habrá nadie que no le haya apretado la mano a él por lo que la existencia del palomar "99" haría que no
existiese el "0" así que ahora podemos aplicar el principio y deducir que 2 personas han saludado al
mismo número de personas.
PELOS
¡¡Hay 2 personas en el mundo que tienen exactamente el mismo número de pelos en la cabeza!! ¡¡Es más, seguro que podemos encontrar muchas más de 1000 personas con el mismo número de pelos en la cabeza!!
PELOS
¡¡Hay 2 personas en el mundo que tienen exactamente el mismo número de pelos en la cabeza!! ¡¡Es más, seguro que podemos encontrar muchas más de 1000 personas con el mismo número de pelos en la cabeza!!
Solución: Ahora las palomas van a ser la humanidad y los palomares el número de pelos de la cabeza. Pero
¿Cuántos pelos puede tener una persona en la cabeza? Si nos vamos a la Wikipedia, un adulto puede tener
alrededor de un millón en la cabeza, pero contando barba, nariz, orejas, pelusillas casi invisibles y tal. Si
nos quedamos con el cuero cabelludo, hay entre 100000 y 150000. Bueno, para no quedarnos cortos, por
si hubiese alguien super peludo vamos a considerar que las personas pueden tener hasta un millón de
pelos en el cuero cabelludo. El número de pelos podría variar de 0 a un millón, y en estos palomares
tenemos que meter los aproximadamente 6000 millones de habitantes actuales de la tierra (vaya, hemos
crecido, según Google vamos ya por 6775235741).
Aplicando el principio del palomar tendríamos que de hecho ¡¡¡debe de haber al menos unas 6775
personas con exactamente el mismo número de pelos!!!
Bueno, algunos podrán decir que esto era obvio porque hay muchos calvos... sin ningún pelo en la cabeza.
Bueno, puesto que el número de calvos totales en el mundo no debe de ser muy alto, podríamos haber
hecho el mismo razonamiento considerando solo gente que tenga pelo y habríamos llegado también a
una conclusión similar para gente con pelo.
MONEDAS EN CAJAS
Distribuir 44 monedas en 10 cajas de forma que cada caja tenga distinto nº de monedas
Distribuir 44 monedas en 10 cajas de forma que cada caja tenga distinto nº de monedas
Solución: No se puede porque si en todas hay nº distinto de monedas,
al menos debe haber
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 monedas
MONEDAS DE ORO
Tenemos 100 monedas de oro que tenemos que repartir entre 14 trabajadores. Como no hay 2 que hayan trabajado exactamente lo mismo, las 14 pagas resultantes deberían de ser todas distintas. ¿Es esto posible sin necesidad de partir alguna moneda?
MONEDAS DE ORO
Tenemos 100 monedas de oro que tenemos que repartir entre 14 trabajadores. Como no hay 2 que hayan trabajado exactamente lo mismo, las 14 pagas resultantes deberían de ser todas distintas. ¿Es esto posible sin necesidad de partir alguna moneda?
Solución: Tenemos 14 personas a las que pagar y 100 monedas. No, no tenemos que aplicar el principio del
palomar directamente, solo nos serviría para decir que al menos uno cobraría al menos 8 monedas y no
es eso lo que buscamos. En este caso las palomas van a ser los trabajadores y los palomares el número de
monedas a cobrar y vamos a dar un pequeño rodeo ya que en un principio habría más palomares que
palomas. Vamos a ver que es imposible hacer el reparto:
Si hubiésemos conseguido el reparto deseado, lo que está claro es que el que más ha cobrado debería de
cobrar al menos 14 monedas, ya que, si cobra menos, tendríamos solo 13 posibles pagas (de 1 a 13
monedas) por lo que, por el principio del palomar, 2 trabajadores (palomas) habrían cobrado lo mismo
(caerían en el mismo palomar). Así que para que todas las pagas sean distintas, el que más cobra cobrará
al menos 14 monedas.
Consideremos los 13 restantes trabajadores y pensemos en cuánto cobrará el que más cobre de ellos. De
nuevo debería de cobrar al menos 13 monedas, ya que si cobrase menos tendríamos 12 pagas (de 1 a 12
monedas) y 13 palomas y esto no podría ser porque por el principio del palomar habrían 2 que cobrasen
lo mismo.
Y si seguimos así, el siguiente trabajador que más cobre debería de cobrar 12 monedas por lo menos, el
siguiente 11, el siguiente 10 y así. Pero claro, si sumamos el número de monedas que irían cobrando cada
uno como mínimo nos saldría que cobrarían en total de por lo menos
14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 105 monedas
lo que es imposible porque solo tenemos 100. Por lo tanto, no podemos hacer el reparto que queremos
sin partir ninguna moneda.
TOMAR MEDICAMENTO
Un hombre se toma durante el mes de abril todos los días (30 en total) por lo menos una aspirina. A lo largo del mes se ha tomado en total 45 aspirinas. Habrá alguna sucesión de días consecutivos en los que en total se habrá tomado 14 aspirinas
TOMAR MEDICAMENTO
Un hombre se toma durante el mes de abril todos los días (30 en total) por lo menos una aspirina. A lo largo del mes se ha tomado en total 45 aspirinas. Habrá alguna sucesión de días consecutivos en los que en total se habrá tomado 14 aspirinas
Solución: Para ver que esto es así, para cada día del mes vamos a considerar el número de aspirinas que se ha
tomado al llegar a ese día. Para cada día nos saldrá un número entre el 1 y el 45 y todos los números
serán distintos (de un día para otro siempre se ha tomado alguna más). Tenemos así 30 palomas.
Observad que, si vemos que, de estos 30 números, hay 2 números a y b con a < b que se diferencian
exactamente en 14, eso quiere decir que el hombre se había tomado al llegar cierto día a aspirinas y que
unos cuantos días después se había tomado b aspirinas, es decir 14 aspirinas más. Así que desde el día
posterior al día de aspirinas hasta el día que llegó a b aspirinas, se tomó exactamente 14. Ok, pues
nuestro problema se reduce a ver que, de los 30 números, hay 2 cuya resta es 14. ¿Quiénes van a ser
nuestros palomares ahora? Pues serán los pares de números de la forma n-(n+14), es decir
1−15,2−16,3−17,4−18,5−19,…,29−43,30−44,31−45.
¡Necesitamos ver que de los 30 números hay 2 en el mismo par! Pero tenemos 31 palomares, más que
palomas..., no nos sirve...Bueno, pero tengamos en cuenta una cosa, cada número pertenecerá a algún par,
aunque puede pasar que de hecho que pertenezca a varios pares (por ejemplo 16 pertenece al par 2-16 y
al par 16-30). Esto nos va a permitir eliminar 2 palomares, el par 15-29 y el 16-30 ya que los 4 números
que pertenecen a estos pares, están también en otros pares (el 15 en el 1-15, el 16 en el 2-16, el 29 en el
29-43 y el 30 en el 30-44).
Nos quedamos entonces con 30 números (palomas) y 29 pares (palomares) de forma que cada número
pertenece al menos a uno de los 29 pares. Si un número pertenece a 2 pares distintos, le asignamos por
ejemplo el par más pequeño (si tuviésemos el 17, lo metemos en el palomar 3-17 y no en el 17-31). Ya
hemos metido 30 palomas en 29 palomares. Ahora sí, algún palomar debe de tener al menos 2 palomas y
esto es justo lo que necesitábamos.
AMIGOS
Cada integrante de un grupo de 10 niños es amigo de exactamente 7 del grupo (la amistad es mutua). Pruebe que no es posible dividirlos en 3 grupos de tal manera que en cada uno de los 3 equipos no haya un par de amigos
AMIGOS
Cada integrante de un grupo de 10 niños es amigo de exactamente 7 del grupo (la amistad es mutua). Pruebe que no es posible dividirlos en 3 grupos de tal manera que en cada uno de los 3 equipos no haya un par de amigos
Solución: Supongamos que se dividen los 10 niños en 3 equipos. Uno de los equipos debe tener al menos 4
integrantes. Digamos que Luís es uno de los niños de ese equipo. Luís tiene 7 amigos, pero entre los otros
equipos hay a lo más 6 niños, por lo tanto, Juan tiene un amigo en su equipo.
BOLAS
En una urna hay 20 bolas azules, 15 amarillas y 30 rojas. ¿Cuántas bolas habrá que sacar para tener la seguridad de que habrá algún color repetido?
INVITADOS EN UNA FIESTA
Estas en una fiesta. Uno de los invitados, que ya tiene unas cuantas copas y que sabe que eres un profesor de matemáticas, te dice: Te apuesto 5000 € a que, aunque sólo somos 35 personas, podemos encontrar dos personas cuyas fechas de nacimiento (día y mes) coinciden. ¿Aceptarías la apuesta? ¿Qué probabilidad tiene tu compañero de fiesta de ganar?
OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS
En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a estos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?
BOLAS
En una urna hay 20 bolas azules, 15 amarillas y 30 rojas. ¿Cuántas bolas habrá que sacar para tener la seguridad de que habrá algún color repetido?
INVITADOS EN UNA FIESTA
Estas en una fiesta. Uno de los invitados, que ya tiene unas cuantas copas y que sabe que eres un profesor de matemáticas, te dice: Te apuesto 5000 € a que, aunque sólo somos 35 personas, podemos encontrar dos personas cuyas fechas de nacimiento (día y mes) coinciden. ¿Aceptarías la apuesta? ¿Qué probabilidad tiene tu compañero de fiesta de ganar?
OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS
En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a estos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?
TRASVASES, PESADAS, ETC
3 y 5 LITROS
Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
Solución: Primero llena la jarra de 3 litros. Luego vierte el contenido en la jarra de 5 litros. Vuelve a llenar la jarra
de 3 litros y vuelve a verter su contenido en la jarra de 5 litros que ya está medio llena. Lo que quede en
la jarra de 3 litros será un litro de leche.
La secuencia sería entonces 3-0, 0-3, 3-3, 1-5, 1-0, 0-1, 3-1, 0-4
4 y 7 LITROS
A Juan le ha mandado su madre a por agua. Lleva dos recipientes, uno de 4 litros y otro de 7 litros. Utilizando solo los recipientes, ¿Cómo puede conseguir 6 litros de agua exactamente?
4 y 7 LITROS
A Juan le ha mandado su madre a por agua. Lleva dos recipientes, uno de 4 litros y otro de 7 litros. Utilizando solo los recipientes, ¿Cómo puede conseguir 6 litros de agua exactamente?
Solución: Llena el recipiente de 7 litros; Con ese recipiente llena el recipiente de 3 litros (tendría entonces 3 litros
en el chico y 4 litros en el grande); Vacía el recipiente grande (le quedarían 3 litros en el chico y 0 en el
grande); Llena el grande (tendría entonces 3 litros en el chico y 7 litros en el grande); Completa el chico
echando 1 litro del grande. Con lo que le quedarían 4 litros en el chico y 6 litros en el grande
11 y 8 LITROS
Juan le dice a su amigo Carlos: “supón que te doy dos botellas, una en la que caben exactamente 11 litros y otra en la que, exactamente, caben 8 litros. Quiero que vayas a la fuente y me traigas exactamente 15 litros de agua. Te pagaré por ello 10 €, pero tienes que tener en cuenta dos cosas:
a) no puedes usar ningún otro recipiente
b) por cada vez que llenes o vacíes una botella o pases el agua de una a otra, me tendrás que devolver 1 €”. ¿Qué tiene que hacer Carlos para obtener el mayor beneficio?
11 y 8 LITROS
Juan le dice a su amigo Carlos: “supón que te doy dos botellas, una en la que caben exactamente 11 litros y otra en la que, exactamente, caben 8 litros. Quiero que vayas a la fuente y me traigas exactamente 15 litros de agua. Te pagaré por ello 10 €, pero tienes que tener en cuenta dos cosas:
a) no puedes usar ningún otro recipiente
b) por cada vez que llenes o vacíes una botella o pases el agua de una a otra, me tendrás que devolver 1 €”. ¿Qué tiene que hacer Carlos para obtener el mayor beneficio?
9 y 4 LITROS
Mide 6 litros de agua con la ayuda de una jarra de 9 litros y otra de 4. Por cierto, las jarras no están graduadas por lo que no es posible llenar hasta la mitad la de cuatro y así tener dos litros.
Si te fijas, 6 = 2.9 – 3.4. ¿Tiene esto algo que ver con el problema?
Consejo: Cuando no sepas cómo empezar, intenta empezar por el final y vete hacia atrás. Ayúdate siempre de buenos dibujos.
5, 11 y 13 LITROS
Tartaglia propuso el siguiente problema en su tratado: «Questi et invenzoni diverse»: queremos repartir el contenido de una jarra de 24 litros de vino en tres partes iguales utilizando nada más que la jarra original y otras de 5, 11 y 13 litros respectivamente. ¿Cuáles son los pasos necesarios para conseguir este reparto?
12, 7 y 5 LITROS
Tenemos tres botellas de 12, 7 y 5 litros de capacidad, respectivamente. Se trata de conseguir que dos de las tres botellas contengan exactamente 6 litros cada una.
19, 13 y 7 LITROS
Tienes 3 vasijas que pueden contener un máximo de 19, 13 y 7 litros de agua respectivamente. Inicialmente tienes las de 13 y 7 llenas de agua y la de 19 vacía (es decir, en total 20 litros de agua). Puedes trasvasar agua entre las jarras y debes conseguir tener 2 jarras con 10 litros cada una y la otra (la pequeña, obviamente) vacía. ¿Cómo lo harías?
Problemas de cruzar:
LOBO, OVEJA Y COL
Un hombre tenía que cruzar al otro lado de un río un lobo, una oveja y una col. Disponía de una barca para cruzar a la otra orilla, pero con el inconveniente de que en la barca solo caben él y una de sus pertenencias. La barca no puede cruzar sola. Sabe que si el lobo se queda solo en la orilla con la cabra este se la comerá y que si la cabra se queda sola con la col se la comerá. ¿Cómo lo hizo?
MISIONEROS Y CANÍBALES
En el África central se encuentran tres misioneros y tres caníbales intentando cruzar un rio. Para cruzarlo cuentan con una pequeña barca en donde solo caben dos personas. El problema consiste en que, si en algún momento los caníbales llegan a ser mayoría sobre los misioneros, se los comen. Los misioneros tendrán que cuidar incluso que en el momento de embarque o desembarque no lleguen a ser minoría. La barca no puede cruzar sola. ¿Podrán atravesar el río sin que los caníbales se los coman?
PADRES E HIJAS
Hay que cruzar a los tres padres y sus hijas a la otra orilla, pero sin que en ningún momento una niña esté sin la compañía de su padre, a lo sumo con otra niña, pero nunca con el padre de alguna de las otras dos niñas. Para cruzar el río y volver, la barca debe llevar siempre a alguien.
FAMILIA
Una familia compuesta por el padre (80 kg), la madre de igual peso y dos hijos gemelos (40 kg cada uno), se enfrentan con el problema de cruzar un río, en una barca cuya capacidad máxima de carga es precisamente 80 kg. No llevan equipaje alguno, pero sí los acompaña un gato (2 kg). ¿Cómo lograron cruzar todos a la otra orilla.
ADULTOS Y NIÑOS
Un grupo de tres personas adultas se desplaza por la selva. Al cabo de cierto tiempo encuentran un río que deben cruzar, pero no pueden atravesarlo nadando. Al otro lado ven a dos niños con una pequeña canoa que se ofrecen a ayudarles. La canoa es tan pequeña que en cada viaje solamente caben los dos niños o una persona adulta. ¿Serías capaz de ayudarles a resolver este problema?
CUATRO AMIGOS
Cuatro amigos han de cruzar un lago en una barca de remos. El barquero que les había alquilado la barca les había dicho que ésta sólo podía cargar un máximo de 100 kg, justo lo que pesaba Carlos. Los otros tres pesaban, sin embargo, mucho menos; Francisco pesaba 52 kg, Juan pesaba 46 kg. Pablo pesaba 49 kg. Éste, además, no sabía remar. Tras mucho pensar, dieron con una manera de cruzar los cuatro, aunque les supuso varios viajes.
¿Cómo lo hicieron? Tú deberás conseguirlo en el menor número de viajes posible.
FAMILIA Y LINTERNA
Una familia, se ha perdido en el campo, tienen que cruzar un puente y se ha hecho de noche. Sólo pueden cruzar dos personas cada vez, y deben llevar la linterna encendida con ellos. Cada miembro de la familia camina a distinta velocidad, y cuando cruzan dos personas juntas van a la velocidad de la persona más lenta.
El tiempo que les cuesta cruzar el puente a cada uno de los miembros es: 1 segundo al hermano mayor, 3 segundos al hermano pequeño, 6 segundos a la madre de los chicos, 8 segundos al padre y 12 a la abuela. ¿Les puedes ayudar a cruzar el puente?
Consejo: Cuando no sepas cómo empezar, intenta empezar por el final y vete hacia atrás. Ayúdate siempre de buenos dibujos.
5, 11 y 13 LITROS
Tartaglia propuso el siguiente problema en su tratado: «Questi et invenzoni diverse»: queremos repartir el contenido de una jarra de 24 litros de vino en tres partes iguales utilizando nada más que la jarra original y otras de 5, 11 y 13 litros respectivamente. ¿Cuáles son los pasos necesarios para conseguir este reparto?
12, 7 y 5 LITROS
Tenemos tres botellas de 12, 7 y 5 litros de capacidad, respectivamente. Se trata de conseguir que dos de las tres botellas contengan exactamente 6 litros cada una.
19, 13 y 7 LITROS
Tienes 3 vasijas que pueden contener un máximo de 19, 13 y 7 litros de agua respectivamente. Inicialmente tienes las de 13 y 7 llenas de agua y la de 19 vacía (es decir, en total 20 litros de agua). Puedes trasvasar agua entre las jarras y debes conseguir tener 2 jarras con 10 litros cada una y la otra (la pequeña, obviamente) vacía. ¿Cómo lo harías?
Problemas de pesadas:
27 BOLAS
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas
27 BOLAS
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas
Solución: 1ª pesada: compara 9 bolas cualesquiera con otras 9 y deja las 9 restantes en la caja. Si la balanza se equilibra, la bola más pesada estará entre las 9 bolas que han quedado en la caja y si no, estará entre las 9 del platillo que se incline hacia su lado la balanza. 2ª pesada: dividimos en 3 grupos de tres este conjunto y repitamos la operación. De esta forma, con dos pesadas habremos aislado la bola más pesada en un grupo de tres bolas. 3ª pesada: Si repetimos la operación una tercera vez, habremos aislado la bola más pesada de las otras.
PESAR DE 1 a 4 kg
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), considerado el hombre más sabio de toda Francia, tradujo Arithmetica al latín. Era un lingüista brillante, poeta y estudioso de los clásicos; a Bachet le apasionaban los acertijos matemáticos. Su primera publicación fue una compilación de acertijos: Problemes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Uno de los problemas que planteaba tenía que ver con pesas:
Queremos pesar cuarenta objetos de 1, 2, 3, 4, …, 38, 39, 40 kilogramos, usando una balanza de dos platillos. ¿Cuál es el menor número de pesas que se necesita y cuál el peso de cada una? Explica cómo obtener cada pesada
PESAR DE 1 a 4 kg
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), considerado el hombre más sabio de toda Francia, tradujo Arithmetica al latín. Era un lingüista brillante, poeta y estudioso de los clásicos; a Bachet le apasionaban los acertijos matemáticos. Su primera publicación fue una compilación de acertijos: Problemes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Uno de los problemas que planteaba tenía que ver con pesas:
Queremos pesar cuarenta objetos de 1, 2, 3, 4, …, 38, 39, 40 kilogramos, usando una balanza de dos platillos. ¿Cuál es el menor número de pesas que se necesita y cuál el peso de cada una? Explica cómo obtener cada pesada
Solución: La mayoría de las personas sugieren que seis pesas son necesarias: 1, 2, 4, 8, 16 y 32 kg pues trabajan colocando las pesas en uno solo de los platillos y el objeto a pesar en el otro. De esta manera, todos los pesos pueden lograrse: 1 kg = 1, 2 kg = 2, 3 kg = 2 + 1, 4 kg = 4, 5 kg = 4 + 1, .... .... .... 40 kg = 32 + 8 Bachet pudo lograr la tarea con sólo cuatro pesas: 1, 3, 9 y 27 kg. Si pensamos que podemos colocar pesas en ambos platillos, teniendo en cuenta que aquella que se ubique junto al objeto asume un valor negativo, los pesos pueden obtenerse de la siguiente manera: 1 kg = 1, 2 kg = 3 - 1, 3 kg = 3, 4 kg = 3 + 1, 5 kg = 9 – 3 – 1, .... .... .... 40 kg = 27 + 9 + 3 + 1. Por lo tanto, la respuesta correcta es: el mínimo número de pesas es 4.
CUATRO PESAS
Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Qué pesa cada una de las pesas?
CUATRO PESAS
Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Qué pesa cada una de las pesas?
Solución: Las pesas son de 1, 3, 9 y 27 Kg. Con estas pesas siempre encontraremos una combinación. Por ejemplo, para pesar 23 es 27 - 3 - 1, y así cualquier otra combinación.
13 BOLAS
Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres 3 pesadas debemos de localizar esa bola
13 BOLAS
Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres 3 pesadas debemos de localizar esa bola
Solución: Tenemos trece bolas, las numeramos del 1 al 13. En la primera pesada ponemos en un lado de la balanza las primeras cuatro bolas y en el otro lado las siguientes cuatro: Primera pesada: 1 2 3 4 ---------- 5 6 7 8 a - Si la balanza no se inclina hacia ningún lado: Segunda pesada (a): 9 10 ---------- 11 1 a.1. - Si la balanza no se inclina hacia ningún lado: Tercera pesada (a.1.): 12 --------- 1 Si la balanza no se inclina hacia ningún lado: la bola distinta es la 13 Si la balanza se inclina: la bola distinta es la 12. a.2. Si la balanza se inclina: Tercera pesada: (a.2.): 9 ---------- 10 Si la balanza no se inclina hacia ningún lado: la bola distinta es la 11 Si la balanza se inclina hacia el lado contrario: la bola distinta es la 10. Si la balanza se inclina hacia el lado contrario: la bola distinta es la 9. b - Si la balanza no se inclina: Segunda pesada (b): 1 2 5---------- 3 4 10 b.1. Si la balanza no se inclina: Tercera pesada (b.1.): 6 --------- 7 Si la balanza no se inclina: la bola distinta es la 8 Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la primera pesada la bola distinta es la 7 Si la balanza se inclina hacia el lado contrario que la primera pesada la bola distinta es la 6 b.2. Si la balanza se inclina al lado contrario que la primera pesada: Tercera pesada (b.2.): 3 ---------- 4 Si la balanza no se inclina: la bola distinta es la 5 Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 4 Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 3 b.3. Si la balanza se inclina al mismo lado que la primera pesada: Tercera pesada (b.3.): 2---------- 1 Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 2 Si la balanza se inclina hacia el mismo lado que la segunda pesada (b) la bola distinta es la 1
CAJAS CON NARANJAS
Tenemos 10 cajas numeradas del 1 al 10, y cada caja contiene 10 naranjas. Todas las naranjas pesan 100 gramos cada una, excepto las de una caja que pesan 110 gramos cada una. Con una sola pesada de una báscula digital (no de balanza) en la que podemos coger todas las naranjas que queramos, ¿es posible saber que caja es la que contiene las naranjas más pesadas?
CAJAS CON NARANJAS
Tenemos 10 cajas numeradas del 1 al 10, y cada caja contiene 10 naranjas. Todas las naranjas pesan 100 gramos cada una, excepto las de una caja que pesan 110 gramos cada una. Con una sola pesada de una báscula digital (no de balanza) en la que podemos coger todas las naranjas que queramos, ¿es posible saber que caja es la que contiene las naranjas más pesadas?
Solución: De cada caja numerada se saca la misma cantidad de naranjas que el número que tiene la caja (de la caja 1 una naranja, de la caja 2 dos naranjas, etc.). Se sacan en total 55 naranjas, las cuales al pesarlas deberían dar un peso de 5500 gramos (si todas pesaran 100 gramos), pero como hay naranjas de más de 100 gramos (de 110 gramos), el peso de todas juntas no va a ser 5500 gramos. Entonces, al peso que da la báscula se le resta 5500 gramos y al resultado obtenido se le divide por 10, y el número que dé es el correspondiente a la caja que contiene las naranjas más pesadas. Ejemplo: Supongamos que la caja 5 contiene las naranjas más pesadas. Al pesar todas las naranjas tendremos 5550 gramos, y operando: 5550 – 5500 = 50 , 50/10 = 5, que es el número de la caja que contiene las naranjas más pesadas. Otra forma de verlo es que por cada 10 gramos que se encuentren de más en el peso final (5500 gramos), habrá una naranja más pesada, y el número de naranjas más pesadas coincide con el número de la caja más pesada.
12 BOLAS
Tenemos 12 bolas. Una de ellas pesa distinto que el resto. Averigua en 3 pesadas cual es la bola distinta y si pesa más o menos que sus compañeras.
12 BOLAS
Tenemos 12 bolas. Una de ellas pesa distinto que el resto. Averigua en 3 pesadas cual es la bola distinta y si pesa más o menos que sus compañeras.
Solución: Las 12 bolas las numeramos del 1 al 12 para poder distinguirlas. En la balanza ponemos en el plato de la izquierda las bolas 1, 2, 3 y 4; y en la derecha las bolas 5, 6, 7 y 8. Realizamos la 1º pesada. Pueden ocurrir 3 cosas: 1.a. La balanza se equilibra 1.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 1, 2, 3 y 4). 1.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 5, 6, 7 y 8). Caso 1.a. La balanza se equilibra. Implica que la bola distinta es una de las cuatro restantes (9, 10, 11 y 12). Realizamos la 2º pesada colocando en el plato de la izquierda las bolas 9 y 10, y en el plato de la derecha la bola 11 y una de las bolas descartadas anteriormente por ejemplo la bola 4. Pueden ocurrir 3 casos: 1.a.2.a. La balanza se equilibra. 1.a.2.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 9 y 10). 1.a.2.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 11 y 4). Caso 1.a.2.a La balanza se equilibra. Implica que la bola problema es la número 12. Realizamos la tercera pesada, colocando la bola 12 en el plato de la izquierda, y una de las bolas descartadas, por ejemplo, la bola 4, en el plato de la derecha. Pueden ocurrir dos casos: 1.a.2.a.3.a. La balanza se desvía hacia la izquierda: LA BOLA 12 PESA MAS. 1.a.2.a.3.b. La balanza se desvía hacia la derecha: LA BOLA 12 PESA MENOS. Caso 1.a.2.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 9 y 10). Implica que o bien la bola buscada es la 9 o la 10 y pesa MAS o bien es la bola 11 y pesa MENOS. Realizamos la 3º pesada, colocando la bola 9 en el plato de la izquierda y la bola 10 en el plato de la derecha. Pueden ocurrir tres casos: 1.a.2.b.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 11 PESA MENOS. 1.a.2.b.3.b La balanza se desvía hacia la izquierda (bola 9): LA BOLA 9 PESA MAS. 1.a.2.b.3.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bola 10): LA BOLA 10 PESA MAS. Caso 1.a.2.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 11 y 4). Implica que o bien la bola buscada es la 9 o la 10 y pesa MENOS o bien es la bola 11 y pesa MAS. Realizamos la 3º pesada, colocando la bola 9 en el plato de la izquierda y la bola 10 en el plato de la derecha. Pueden ocurrir tres casos: 1.a.2.c.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 11 PESA MAS 1.a.2.c.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bola 9): LA BOLA 10 PESA MENOS. 1.a.2.c.3.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bola 10): LA BOLA 9 PESA MENOS. Caso 1.b La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 1, 2, 3 y 4). Implica que o bien la bola buscada está en el lado de la izquierda (bolas 1, 2, 3 y 4) y pesa MAS, o bien la bola buscada está en el lado de la derecha (bolas 5, 6, 7 y 8) y pesa MENOS. Descarta las bolas 9, 10, 11 y 12. Realizamos la 2º pesada, colocando las bolas 1, 2 y 5 en el plato de la izquierda, y las bolas 3, 6 y una de las descartadas, por ejemplo, la bola 9 en el plato de la derecha. Pueden ocurrir tres casos: 1.b.2.a. La balanza se equilibra. 1.b.2.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 1, 2, 5). 1.b.2.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 3, 6, 9). 1.b.2.a. La balanza se equilibra. Implica que o bien es la bola 4 y pesa MAS, o bien es la bola 7 o la 8 y pesa MENOS. Realizamos la 3º pesada, colocando en el plato de la izquierda la bola 7, y en el plato de la derecha la bola 8. Pueden ocurrir tres casos: 1.b.2.a.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 4 PESA MAS. 1.b.2.a.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bola 7): LA BOLA 8 PESA MENOS. 1.b.2.a.3.c: La balanza se desvía hacia la derecha (bola 8): LA BOLA 7 PESA MENOS. 1.b.2.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 1, 2, 5). Implica que o bien la bola buscada es la 1 o la 2 y pesa MAS o bien que es la bola 6 y pesa MENOS. Realizamos la 3º pesada, colocando en el plato de la izquierda la bola 1, y en el plato de la derecha la bola 2. Pueden ocurrir tres casos: 1.b.2.b.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 6 PESA MENOS. 1.b.2.b.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bola 1): LA BOLA 1 PESA MAS. 1.b.2.b.3.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bola 2): LA BOLA 2 PESA MAS. 1.b.2.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 3, 6, 9). Implica que o bien la bola 3 pesa MAS, o bien la bola 5 pesa MENOS. Realizamos la 3º pesada colocando la bola 3 en el plato de la izquierda, y una bola descartada, por ejemplo, la bola 9, en el plato de la derecha. Pueden ocurrir dos casos: 1.b.2.c.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 5 PESA MENOS. 1.b.2.c.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda: LA BOLA 3 PESA MAS. Caso 1.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 5, 6, 7 y 8). Implica que o bien la bola buscada está en el lado de la izquierda (bolas 1, 2, 3 y 4) y pesa MENOS, o bien la bola buscada está en el lado de la derecha (bolas 5, 6, 7 y 8) y pesa MAS. Descarta las bolas 9, 10, 11 y 12 Realizamos la 2º pesada, colocando las bolas 1, 2 y 5 en el plato de la izquierda, y las bolas 3, 6 y una de las descartadas, por ejemplo, la bola 9 en el plato de la derecha. Pueden ocurrir tres casos: 1.c.2.a. La balanza se equilibra. 1.c.2.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 1, 2, 5). 1.c.2.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 3, 6, 9). 1.c.2.a. La balanza se equilibra. Implica que o bien es la bola 4 y pesa MENOS, o bien es la bola 7 o la 8 y pesa MAS. Realizamos la 3º pesada, colocando en el plato de la izquierda la bola 7, y en el plato de la derecha la bola 8. Pueden ocurrir tres casos: 1.c.2.a.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 4 PESA MAS. 1.c.2.a.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bola 7): LA BOLA 7 PESA MAS. 1.c.2.a.3.c: La balanza se desvía hacia la derecha (bola 8): LA BOLA 8 PESA MAS. 1.c.2.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bolas 1, 2, 5). Implica que o bien la bola 3 pesa MENOS, o bien la bola 5 pesa MAS. Realizamos la 3º pesada colocando la bola 3 en el plato de la izquierda, y una bola descartada, por ejemplo, la bola 9, en el plato de la derecha. Pueden ocurrir dos casos: 1.c.2.c.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 5 PESA MAS. 1.c.2.c.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda: LA BOLA 3 PESA MENOS. 1.c.2.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bolas 3, 6, 9). Implica que o bien la bola buscada es la 1 o la 2 y pesa MENOS o bien que es la bola 6 y pesa MAS. Realizamos la 3º pesada, colocando en el plato de la izquierda la bola 1, y en el plato de la derecha la bola 2. Pueden ocurrir tres casos: 1.c.2.b.3.a. La balanza se equilibra: LA BOLA 6 PESA MAS. 1.c.2.b.3.b. La balanza se desvía hacia la izquierda (bola 1): LA BOLA 2 PESA MENOS. 1.c.2.b.3.c. La balanza se desvía hacia la derecha (bola 2): LA BOLA 1 PESA MENOS.
MONEDAS DE ORO
Había un viejo muy tacaño que tenía muchas monedas de oro. Los hijos y su familia lo presionaban para que las metiera en el Banco para obtener intereses y mantenerlas protegidas. El caso es que el viejito pone las monedas en 10 saquitos. En la noche uno de los hijos toma una bolsa y falsifica las monedas (quedan igual) y las pone las nuevas en el saco. El hijo se gasta las monedas. Al otro día en el Banco el hijo le cuenta al padre lo que hizo y el padre muy desilusionado manda a traer al encargado del Banco una báscula y le dice al hijo que si adivina en que saco están las monedas falsas se puede quedar con todas las monedas y si no adivina no le vuelve a hablar. Puede pesar todas las monedas de los sacos que quiera en la báscula, pero solo puede usar la báscula una vez. Se sabe que las monedas verdaderas pesan 1 g cada una y las falsas un 10% menos.
MONEDAS DE ORO
Había un viejo muy tacaño que tenía muchas monedas de oro. Los hijos y su familia lo presionaban para que las metiera en el Banco para obtener intereses y mantenerlas protegidas. El caso es que el viejito pone las monedas en 10 saquitos. En la noche uno de los hijos toma una bolsa y falsifica las monedas (quedan igual) y las pone las nuevas en el saco. El hijo se gasta las monedas. Al otro día en el Banco el hijo le cuenta al padre lo que hizo y el padre muy desilusionado manda a traer al encargado del Banco una báscula y le dice al hijo que si adivina en que saco están las monedas falsas se puede quedar con todas las monedas y si no adivina no le vuelve a hablar. Puede pesar todas las monedas de los sacos que quiera en la báscula, pero solo puede usar la báscula una vez. Se sabe que las monedas verdaderas pesan 1 g cada una y las falsas un 10% menos.
Solución: Cogemos 1 moneda del primer saco, dos monedas del segundo, tres del tercero y así sucesivamente. Pesamos las monedas y si pesan 54,9 g, el saco de las falsas será el primero. Si pesan 54,8 g, es saco de monedas falsas será el segundo y así sucesivamente.
10 CESTAS
Tenemos 10 cestas de bombones y cada bombón ha de pesar 10 gramos. Al disponernos a venderlos hay una cesta en la que los bombones sólo pesan 9 gramos, pero el inconveniente es que no sabemos de qué cesta se trata. El reto consiste en descubrir la cesta que tiene los bombones de 9 gramos con una sola pesada (podemos usar la balanza una sola vez).
10 CESTAS
Tenemos 10 cestas de bombones y cada bombón ha de pesar 10 gramos. Al disponernos a venderlos hay una cesta en la que los bombones sólo pesan 9 gramos, pero el inconveniente es que no sabemos de qué cesta se trata. El reto consiste en descubrir la cesta que tiene los bombones de 9 gramos con una sola pesada (podemos usar la balanza una sola vez).
Solución: Ordenamos las cestas en un orden cualquiera. Cogemos un bombón de la primera cesta, dos de la segunda, tres de la tercera, etc., y nueve de la novena. Si la pesada de los bombones da 10 + 20 + 30 + ..... + 90 = 450 gramos, las cestas serán correctas y la defectuosa será la décima. Pero si la pesada es de 450 –1 = 449 g la cesta defectuosa será la primera; si da 450 – 2 = 448 g será la segunda. Si obtenemos 450 – 3 = 447 g será la tercera cesta la defectuosa y así si da 450 – 9 = 441 g, será la novena.
10 MONEDAS DE ORO
En la Edad Media, un señor feudal tenía 10 feudos cuidados por un siervo cada uno. Estos siervos, a cambio, tenían que pagarle al final de cada mes 10 monedas de oro, de 10 gramos cada una, al señor feudal. Cierto mes se corrió el rumor de que un siervo iba a engañarle en el pago, con monedas de 9 gramos. El día de la entrega, el señor feudal realizo una sola pesada con una balanza romana, y dejando a todos boquiabiertos dijo quién era el que lo engañaba. ¿Cómo realizó el señor feudal la pesada?
10 MONEDAS DE ORO
En la Edad Media, un señor feudal tenía 10 feudos cuidados por un siervo cada uno. Estos siervos, a cambio, tenían que pagarle al final de cada mes 10 monedas de oro, de 10 gramos cada una, al señor feudal. Cierto mes se corrió el rumor de que un siervo iba a engañarle en el pago, con monedas de 9 gramos. El día de la entrega, el señor feudal realizo una sola pesada con una balanza romana, y dejando a todos boquiabiertos dijo quién era el que lo engañaba. ¿Cómo realizó el señor feudal la pesada?
Solución: El señor feudal tomó 1 moneda del primer siervo, 2 del segundo, 3 del tercero, y así sucesivamente. Las pesó todas juntas y, como el peso total debería ser de 1.10 + 2.10 + 3.10 + ... + 10.10 gramos, es decir, 550 gramos, la diferencia entre los 550 gramos y el resultado de la pesada apuntaba directamente al siervo estafador. Así, si por ejemplo el estafador era el número 4, sus monedas sólo pesarían 4.9 = 36 gramos, es decir, que la pesada total sería sólo de 546 gramos. Como 550 – 546 = 4, el culpable era el 4. Si el estafador hubiera sido el número 8, como 8.9 = 72, el peso total sería de 542 gramos; 550 – 542 = 8.
10 BOLSAS
Tenemos 10 bolsas numeradas del 1 al 10 con 10 monedas cada una. Todas las monedas pesan lo mismo, por ejemplo 1 g, salvo las de una bolsa, que pesan el doble, 2 g. ¿Cómo averiguar la bolsa con monedas más pesadas con una sola pesada?
8 MONEDAS
Tengo 8 monedas iguales a simple vista, pero hay 1 que pesa más que las otras. ¿Cómo averiguar en dos pesadas de balanza la que pesa más?
10 BOLAS
Se tienen 10 bolas y una balanza. De las 10 bolas, existe una que pesa diferente a las otras. El problema es que no se sabe cuál es, ni se sabe si pesa más o pesa menos que las demás bolas. ¿Cómo determinaríamos esa bola usando la balanza sólo 4 veces? (además hay que determinar si la bola pesa más o menos que las demás).
8 PELOTAS
Con una balanza de dos platos, como la del dibujo, y con sólo dos pesadas, queremos averiguar entre 8 pelotas cuál es la que pesa un poco más que las demás.
PERLAS
Averigua el número mínimo de pesadas necesarias para detectar, con una balanza, una perla que pesa menos que las demás.
CUATRO PESAS
Tenemos una balanza y cuatro pesas de 3, 6, 8 y 12 gramos, respectivamente. Queremos pesar todas las cantidades comprendidas entre 1 y 12 gramos en una sola pesada. ¿Cómo lo harías?
TRES PESAS
Con una balanza de platillos se puede pesar de 1 hasta 13 kilos utilizando solamente tres pesas A, B y C. Indica de cuántos kilos han de ser las pesas A, B y C y, cómo realizarías cada una de las pesadas anteriores utilizando estas pesas.
OTRA VEZ PESADAS DE 1 kg A 40 kg
Estamos en el siglo XV (por ejemplo) y para pesar (mi padre diría para medir las masas) los objetos se utiliza la balanza. Los objetos que tenemos que medir van desde 1 kg hasta 40 kg (números enteros). Tenemos que construir las masas que utilizaremos para equilibrar la balanza. ¿Cuál sería el mínimo juego de masas que podríamos utilizar? Nota. – Sólo se construye una ‘pesa’ de cada tipo.
Pista: El problema tiene dos soluciones (una permitiendo que se pueden poner las ‘pesas’ en los dos platillos de la balanza y otra sin permitirlo).
24 MONEDAS DE ORO
El pirata Calomauel ha encontrado un cofre con 24 monedas de oro en su interior. Aparentemente, son todas exactamente iguales, pero junto a ellas hay una nota, escrita con tintas de varios colores, que dice: “Una de las monedas no es totalmente de oro y pesa menos que las demás”. Calomauel ofrece todas las monedas a aquel de sus ayudantes que sea capaz de descubrir la defectuosa en tres pesadas con una báscula de platillos que hay en el barco, pero sin hacer uso de las pesas. ¿Serías capaz de hacerlo tú?
27 BOLAS DE BILLAR
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas.
81 BOLAS
Se tienen 81 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas.
8 MONEDAS
Tengo 8 monedas, todas de igual aspecto. Una, sin embargo, es falsa y pesa menos que las otras. ¿Es posible determinar cuál es la moneda falsa realizando solamente dos pesadas con una balanza de dos platillos? ¿Cómo cambiaría el problema si solo supiéramos que la moneda falsa tiene un peso distinto a las demás, pero no sabemos si es mayor o menor?
DIEZ SACOS
Diez sacos están llenos de monedas. Todas ellas son aparentemente iguales, pero sin embargo todas las de uno de los sacos son falsas. La única manera de distinguir las monedas falsas es pesándolas, ya que éstas pesan 19 gramos mientras que las buenas pesan 20 gramos. ¿Podrías averiguar con una sola pesada qué saco es el que contiene las falsas monedas? ¡Ánimo!
CUATRO CANTONERAS
Tienes cuatro cantoneras y una de ellas pesa diferente y las otras tres lo mismo. Si dispones de la misma balanza anterior, ¿Cuántas pesadas serían necesarias, en el peor de los casos (como mínimo), para encontrar la que pesa diferente y averiguar si pesa más o menos?
SEIS CANTONERAS
Se tienen seis cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa diferente a las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuántas pesadas se necesitarían, como mínimo, y cómo procederíamos para averiguar la cantonera que pesa diferente, indicando si pesa más o menos?
NUEVE CANTONERAS-1
Se tienen nueve cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa unos decigramos menos que las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos, sin pesas, con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberás hacer para saber cuál es la cantonera que pesa menos?
NUEVE CANTONERAS-2
Se tienen nueve cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa diferente a las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuántas pesadas se necesitarían, como mínimo, y cómo procederíamos para averiguar la cantonera que pesa diferente, indicando si pesa más o menos?
Nota: Os dividimos en grupos de tres alumnos. Cada grupo tenéis que resolver el problema de forma conjunta y además os entregamos una balanza y las nueve cantoneras para que hagáis las pruebas que consideréis conveniente.
DOCE CANTONERAS
Disponemos de doce cantoneras, iguales en forma y tamaño, y una balanza con dos brazos. Sabemos que una de las cantoneras pesa diferente a las demás, que pesan todas iguales, pero no sabemos si pesa más o menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la cantonera defectuosa y si pesa más o menos con un total de tres pesadas?
10 BOLSAS
Tenemos 10 bolsas numeradas del 1 al 10 con 10 monedas cada una. Todas las monedas pesan lo mismo, por ejemplo 1 g, salvo las de una bolsa, que pesan el doble, 2 g. ¿Cómo averiguar la bolsa con monedas más pesadas con una sola pesada?
8 MONEDAS
Tengo 8 monedas iguales a simple vista, pero hay 1 que pesa más que las otras. ¿Cómo averiguar en dos pesadas de balanza la que pesa más?
10 BOLAS
Se tienen 10 bolas y una balanza. De las 10 bolas, existe una que pesa diferente a las otras. El problema es que no se sabe cuál es, ni se sabe si pesa más o pesa menos que las demás bolas. ¿Cómo determinaríamos esa bola usando la balanza sólo 4 veces? (además hay que determinar si la bola pesa más o menos que las demás).
8 PELOTAS
Con una balanza de dos platos, como la del dibujo, y con sólo dos pesadas, queremos averiguar entre 8 pelotas cuál es la que pesa un poco más que las demás.
PERLAS
Averigua el número mínimo de pesadas necesarias para detectar, con una balanza, una perla que pesa menos que las demás.
CUATRO PESAS
Tenemos una balanza y cuatro pesas de 3, 6, 8 y 12 gramos, respectivamente. Queremos pesar todas las cantidades comprendidas entre 1 y 12 gramos en una sola pesada. ¿Cómo lo harías?
TRES PESAS
Con una balanza de platillos se puede pesar de 1 hasta 13 kilos utilizando solamente tres pesas A, B y C. Indica de cuántos kilos han de ser las pesas A, B y C y, cómo realizarías cada una de las pesadas anteriores utilizando estas pesas.
OTRA VEZ PESADAS DE 1 kg A 40 kg
Estamos en el siglo XV (por ejemplo) y para pesar (mi padre diría para medir las masas) los objetos se utiliza la balanza. Los objetos que tenemos que medir van desde 1 kg hasta 40 kg (números enteros). Tenemos que construir las masas que utilizaremos para equilibrar la balanza. ¿Cuál sería el mínimo juego de masas que podríamos utilizar? Nota. – Sólo se construye una ‘pesa’ de cada tipo.
Pista: El problema tiene dos soluciones (una permitiendo que se pueden poner las ‘pesas’ en los dos platillos de la balanza y otra sin permitirlo).
24 MONEDAS DE ORO
El pirata Calomauel ha encontrado un cofre con 24 monedas de oro en su interior. Aparentemente, son todas exactamente iguales, pero junto a ellas hay una nota, escrita con tintas de varios colores, que dice: “Una de las monedas no es totalmente de oro y pesa menos que las demás”. Calomauel ofrece todas las monedas a aquel de sus ayudantes que sea capaz de descubrir la defectuosa en tres pesadas con una báscula de platillos que hay en el barco, pero sin hacer uso de las pesas. ¿Serías capaz de hacerlo tú?
27 BOLAS DE BILLAR
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas.
81 BOLAS
Se tienen 81 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas.
8 MONEDAS
Tengo 8 monedas, todas de igual aspecto. Una, sin embargo, es falsa y pesa menos que las otras. ¿Es posible determinar cuál es la moneda falsa realizando solamente dos pesadas con una balanza de dos platillos? ¿Cómo cambiaría el problema si solo supiéramos que la moneda falsa tiene un peso distinto a las demás, pero no sabemos si es mayor o menor?
DIEZ SACOS
Diez sacos están llenos de monedas. Todas ellas son aparentemente iguales, pero sin embargo todas las de uno de los sacos son falsas. La única manera de distinguir las monedas falsas es pesándolas, ya que éstas pesan 19 gramos mientras que las buenas pesan 20 gramos. ¿Podrías averiguar con una sola pesada qué saco es el que contiene las falsas monedas? ¡Ánimo!
CUATRO CANTONERAS
Tienes cuatro cantoneras y una de ellas pesa diferente y las otras tres lo mismo. Si dispones de la misma balanza anterior, ¿Cuántas pesadas serían necesarias, en el peor de los casos (como mínimo), para encontrar la que pesa diferente y averiguar si pesa más o menos?
SEIS CANTONERAS
Se tienen seis cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa diferente a las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuántas pesadas se necesitarían, como mínimo, y cómo procederíamos para averiguar la cantonera que pesa diferente, indicando si pesa más o menos?
NUEVE CANTONERAS-1
Se tienen nueve cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa unos decigramos menos que las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos, sin pesas, con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberás hacer para saber cuál es la cantonera que pesa menos?
NUEVE CANTONERAS-2
Se tienen nueve cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa diferente a las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuántas pesadas se necesitarían, como mínimo, y cómo procederíamos para averiguar la cantonera que pesa diferente, indicando si pesa más o menos?
Nota: Os dividimos en grupos de tres alumnos. Cada grupo tenéis que resolver el problema de forma conjunta y además os entregamos una balanza y las nueve cantoneras para que hagáis las pruebas que consideréis conveniente.
DOCE CANTONERAS
Disponemos de doce cantoneras, iguales en forma y tamaño, y una balanza con dos brazos. Sabemos que una de las cantoneras pesa diferente a las demás, que pesan todas iguales, pero no sabemos si pesa más o menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la cantonera defectuosa y si pesa más o menos con un total de tres pesadas?
Problemas de cruzar:
LOBO, OVEJA Y COL
Un hombre tenía que cruzar al otro lado de un río un lobo, una oveja y una col. Disponía de una barca para cruzar a la otra orilla, pero con el inconveniente de que en la barca solo caben él y una de sus pertenencias. La barca no puede cruzar sola. Sabe que si el lobo se queda solo en la orilla con la cabra este se la comerá y que si la cabra se queda sola con la col se la comerá. ¿Cómo lo hizo?
MISIONEROS Y CANÍBALES
En el África central se encuentran tres misioneros y tres caníbales intentando cruzar un rio. Para cruzarlo cuentan con una pequeña barca en donde solo caben dos personas. El problema consiste en que, si en algún momento los caníbales llegan a ser mayoría sobre los misioneros, se los comen. Los misioneros tendrán que cuidar incluso que en el momento de embarque o desembarque no lleguen a ser minoría. La barca no puede cruzar sola. ¿Podrán atravesar el río sin que los caníbales se los coman?
PADRES E HIJAS
Hay que cruzar a los tres padres y sus hijas a la otra orilla, pero sin que en ningún momento una niña esté sin la compañía de su padre, a lo sumo con otra niña, pero nunca con el padre de alguna de las otras dos niñas. Para cruzar el río y volver, la barca debe llevar siempre a alguien.
FAMILIA
Una familia compuesta por el padre (80 kg), la madre de igual peso y dos hijos gemelos (40 kg cada uno), se enfrentan con el problema de cruzar un río, en una barca cuya capacidad máxima de carga es precisamente 80 kg. No llevan equipaje alguno, pero sí los acompaña un gato (2 kg). ¿Cómo lograron cruzar todos a la otra orilla.
ADULTOS Y NIÑOS
Un grupo de tres personas adultas se desplaza por la selva. Al cabo de cierto tiempo encuentran un río que deben cruzar, pero no pueden atravesarlo nadando. Al otro lado ven a dos niños con una pequeña canoa que se ofrecen a ayudarles. La canoa es tan pequeña que en cada viaje solamente caben los dos niños o una persona adulta. ¿Serías capaz de ayudarles a resolver este problema?
CUATRO AMIGOS
Cuatro amigos han de cruzar un lago en una barca de remos. El barquero que les había alquilado la barca les había dicho que ésta sólo podía cargar un máximo de 100 kg, justo lo que pesaba Carlos. Los otros tres pesaban, sin embargo, mucho menos; Francisco pesaba 52 kg, Juan pesaba 46 kg. Pablo pesaba 49 kg. Éste, además, no sabía remar. Tras mucho pensar, dieron con una manera de cruzar los cuatro, aunque les supuso varios viajes.
¿Cómo lo hicieron? Tú deberás conseguirlo en el menor número de viajes posible.
FAMILIA Y LINTERNA
Una familia, se ha perdido en el campo, tienen que cruzar un puente y se ha hecho de noche. Sólo pueden cruzar dos personas cada vez, y deben llevar la linterna encendida con ellos. Cada miembro de la familia camina a distinta velocidad, y cuando cruzan dos personas juntas van a la velocidad de la persona más lenta.
El tiempo que les cuesta cruzar el puente a cada uno de los miembros es: 1 segundo al hermano mayor, 3 segundos al hermano pequeño, 6 segundos a la madre de los chicos, 8 segundos al padre y 12 a la abuela. ¿Les puedes ayudar a cruzar el puente?
Problemas variados:
RELOJ DE ARENA
Un reloj de arena tiene la forma de un triángulo equilátero. En su interior está formado por tres recipientes idénticos. Cada uno se comunica con los otros dos. El recipiente de arriba pasa la arena simultáneamente a los otros dos de forma constante. Los dos recipientes de abajo se llenan así a la misma velocidad. Si el recipiente de arriba tiene toda la arena, entonces la pasa a los otros dos en 16 minutos. ¿Cómo se puede con ayuda de este reloj de arena medir las duraciones de 1 min., 2 min., 3 min… y así sucesivamente hasta 16 minutos? Solución
RELOJ DE ARENA
Un reloj de arena tiene la forma de un triángulo equilátero. En su interior está formado por tres recipientes idénticos. Cada uno se comunica con los otros dos. El recipiente de arriba pasa la arena simultáneamente a los otros dos de forma constante. Los dos recipientes de abajo se llenan así a la misma velocidad. Si el recipiente de arriba tiene toda la arena, entonces la pasa a los otros dos en 16 minutos. ¿Cómo se puede con ayuda de este reloj de arena medir las duraciones de 1 min., 2 min., 3 min… y así sucesivamente hasta 16 minutos? Solución
CINCO NIÑAS
Cinco niñas cuyos nombres son J, B, A, M, L, descubrieron que pesándose de dos en dos e intercambiándose una cada vez, podían conocer el peso de todas ellas gastando una sola moneda (por ejemplo, primero se pesan juntas J y M, luego se baja J y se sube A, y así se pesan juntas M y A, a continuación se baja una de ellas y se sube otra, sin que nunca se repita la misma pareja). Una vez pesadas todas las parejas, sus pesos resultaron ser:
129,116,125,114, 124,121,123,118,120,122.
¿Sabrías calcular el peso de cada una de las cinco niñas?
MONTÓN DE VASOS
Sobre la mesa tienes un montón de vasos. Unos, boca abajo; otros, boca arriba. Quieres ponerlos todos boca arriba, pero invirtiendo, de cada vez, dos vasos al tiempo. ¿Lo podrás hacer? ¿Y si te impones la obligación de invertirlos de tres en tres?
HILERA DE COPAS
Tenemos sobre la mesa una hilera de copas.
Hay 5 boca arriba alternándose con 4 que están boca abajo. Se trata de ir dando vuelta a las copas, siempre de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 boca arriba y 5 boca abajo. ¿Serás capaz de conseguirlo?
SEIS COPAS
Colocamos en fila seis copas, de modo que las tres primeras estén llenas y las otras tres vacías. ¿Cómo podemos alternarlas moviendo una sola copa?
CIEN PERSONAS
Hay 100 personas sentadas en una larga hilera. Se levantan todas. Luego, las personas que ocupan puestos pares, es decir, la 2ª, 4ª, 6ª,…, 98ª y 100ª se vuelven a sentar. Seguidamente, cogiendo de tres en tres las personas que están de pie se sientan y viceversa. Luego lo mismo de 4 en 4, de 5 en 5 y así sucesivamente. Averigua cuántas personas se quedan de pie y cuántas sentadas. ¿Qué puesto ocupan las que están de pie?
MONTÓN DE VASOS
Sobre la mesa tienes un montón de vasos. Unos, boca abajo; otros, boca arriba. Quieres ponerlos todos boca arriba, pero invirtiendo, de cada vez, dos vasos al tiempo. ¿Lo podrás hacer? ¿Y si te impones la obligación de invertirlos de tres en tres?
HILERA DE COPAS
Tenemos sobre la mesa una hilera de copas.
Hay 5 boca arriba alternándose con 4 que están boca abajo. Se trata de ir dando vuelta a las copas, siempre de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 boca arriba y 5 boca abajo. ¿Serás capaz de conseguirlo?
SEIS COPAS
Colocamos en fila seis copas, de modo que las tres primeras estén llenas y las otras tres vacías. ¿Cómo podemos alternarlas moviendo una sola copa?
CIEN PERSONAS
Hay 100 personas sentadas en una larga hilera. Se levantan todas. Luego, las personas que ocupan puestos pares, es decir, la 2ª, 4ª, 6ª,…, 98ª y 100ª se vuelven a sentar. Seguidamente, cogiendo de tres en tres las personas que están de pie se sientan y viceversa. Luego lo mismo de 4 en 4, de 5 en 5 y así sucesivamente. Averigua cuántas personas se quedan de pie y cuántas sentadas. ¿Qué puesto ocupan las que están de pie?
No hay comentarios:
Publicar un comentario